У натурального числа n ровно 3 различных простых делителя, у числа 31 n таких делителей тоже 3, а у числа 462n –– семь.

n = p1 * p2 * p3;31n = 31 * p1 * p2 * p3;Если у числа 31n три простых делителя, то одно из них p1 = 31.462n = 2 * 3 * 7 * 11 * p1 * p2 * p3 = 2 * 3 * 7 * 11 * 31 * p2 * p3;получилось семь простых делителей, поэтому p2 и p3 не равны найденным делителям.Значит, p2 равно наименьшему из оставшихся простых чисел, то есть 5, а p3 = 13.Ответ: n = 5 * 13 * 31 = 2015 - имеет простые делители 5, 13, 31.31n = 31 * 2015 = 5 * 13 * 31 * 31 = 62465 - имеет простые делители 2, 5, 11.462n = 462 * 2015 = 930930 = 2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 * 31 - имеет простые делители 2, 3, 5, 7, 11, 13.

  Простые множители числа n

   Для решения задачи нам, в первую очередь, необходимо выяснить - какие простые множители может содержать искомое число n?

   Так как у чисел n и 31n одинаковое количество простых множителей, то число n, естественно, имеет простой множитель 31, т.е., делится на 31.

   Разложим число 462 на простые множители и вычислим их количество:

      462 = 2 * 231 = 2 * 3 * 77 = 2 * 3 * 7 * 11, всего четыре простых множителя.

   Таким образом, количество простых множителей у чисел n, 462 и 462n:

• n: 3 множителя;
• 462: 4 множителя;
• 462n: 7 множителей.

   Из этих выражений следует, что числа n и 462 не имеют общего простого множителя, в противном случае произведение 462n не могло иметь семь простых множителей. Стало быть, числа 2, 3, 7 и 11 не являются делителями для числа n.

  Наименьшее значение для n

   Итак, о числе n можем утверждать следующее:

• число n имеет 3 простых делителя;
• число n делится на 31, но не делится на 2, 3, 7 и 11.

   Чтобы найти наименьшее такое число, в качестве двух остальных простых множителей следует выбрать наименьшие из простых чисел, кроме самих чисел 2, 3, 7 и 11.

   Для наглядности, выпишем несколько первых простых чисел:

• 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29;
• 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59.

   Очевидно, если исключим числа 2, 3, 7 и 11, то среди остальных простых чисел наименьшими являются числа:

      5 и 13.

   Следовательно, наименьшее значение для n получим при условии, что:

      n = 5 * 13 * 31 = 2015.

   Что касается суммы цифр этого числа, то вычисляется она достаточно просто:

      2 + 0 + 1 + 5 = 8.

   Ответ: 8.