Докажите, что многочлен не принимает отрицательных значений: 1-4ab+(a^2)*(b^2)+a^2+b^2

Признаки положительного значения выражения

Если выражение находится в квадрате (или в другой четной степени), так как любое число в квадрате положительно, то и все значение будет положительно.

Если выражение состоит из суммы квадратов (или другой четной степени), то значение выражения положительно.

Формулы сокращенного умножения для решения

• Квадрат суммы (a + b)² = a² + 2ab + b²;
• Квадрат разности (a - b)² = a² - 2ab + b²;
• Разность квадратов (a - b)(a + b) = a² - b².

Рассмотрим выражение 1 - 4ab + a²b² + a² + b²

Преобразуем выражение, чтобы можно было свернуть данное выражение по одной из формул сокращенного умножения.

1) 1 - 4ab + a²b² + a² + b² 

-4аb = - 2ab + (- 2ab)

1 - 4ab + a²b² + a² + b² = 1 - 2ab + (- 2ab) + a²b² + a² + b² 

2) Поменяем местами одночлены.

1 - 2ab + a²b² + a² + (- 2ab) + b² 

3) Единицу можно представить как единица в квадрате.

1² - 2ab + a²b² + a² + (- 2ab) + b² 

4) Первые три одночлена можно свернуть по формуле квадрата разности.

1² - 2ab + a²b² = (1 - аb)²

5) Следующие три одночлена тоже можно свернуть в скобку по формуле.

a² + (- 2ab) + b² = (a - b)²

Наше выражение приобрело вид  (1 - аb)² + (a - b)²

Как видим, получилась сумма квадратов. А так как каждая скобка в квадрате это всегда положительное число, то и сумма квадратов тоже будет положительным числом.

Поэтому выражение 1 - 4ab + a²b² + a² + b² не принимает отрицательных значений.  

Данный многочлен является многочленом второй степени.Тогда, используя формулу (а – b)^2 = a^2 – 2 * a * b + b^2, запишем исходный многочлен в следующем виде:1 – 4 * a * b + (a^2) * (b^2) + a^2 + b^2 = (1 – 2 * a * b + (a^2) * (b^2)) + (a^2 + b^2 – 2 * a * b) == (1 – a * b)^2 + (a – b)^2.Так как (1 – a * b)^2 > 0 и (a – b)^2 > 0, следовательно, исходный многочлен не принимает отрицательных значений.