Докажите, что уравнение xy = 2006 (x+y) имеет решения в целых числах.

Преобразуем это уравнение:xy = 2006 (x+y);xy - 2006x - 2006y = 0;Добавим к правой и левой части 2006^2;xy - 2006x - 2006y + 2006^2 = 2006^2;Разложим левую часть на множители, получим уравнение:(y - 2006)(x - 2006) = 2006^2;Это уравнение имеет решение в целых числах, к примеру:x = 4012; y = 4012 - является решением данного уравнения.

Докажем, что уравнение x * y = 2006 *  (x + y) имеет решения в целых числах  

X * y = 2006 * (x + y); 

Для решения уравнения используем следующий порядок действий: 

1. Раскрываем скобки.
2. Сгруппируем подобные значения.
3. Вынесем за скобки общий множитель.

Раскрываем скобки в правой части выражения. Для этого значение перед скобками, умножаем на каждое значение в скобках, и складываем их в соответствии с их знаками. Тогда получаем:

X * y = 2006 * x + 2006 * y;

Перенесем все значения выражения на одну сторону. При переносе значений, их знаки меняются на противоположный знак. То есть получаем:

X * y – 2006 * x – 2006 * y = 0;

Добавим к левой части выражения 2006 ^ 2 – 2006 ^ 2 и получим:

X * y – 2006 * x – 2006 * y + 2006 ^ 2 – 2006 ^ 2 = 0;

Сгруппируем подобные выражения и получим:

(x * y – 2006 * x) – (2006 * y – 2006 ^ 2) – 2006 ^ 2 = 0;

Вынесем за скобки общий множитель и получим:

X * (y – 2006) – 2006 * (y – 2006) – 2006 ^ 2 = 0;

X * (y – 2006) – 2006 * (y – 2006) = 2006 ^ 2;

Вынесем за скобки общий множитель и получим:

(y – 2006) * (x – 2006) = 2006 ^ 2;

(y – 2006) * (x – 2006) = 2006 ^ 2;

(y – 2006) * (x – 2006) = 4012;

 Уравнение имеет корни в целых числах в двух случаях:

1. X = y = 0;
2. X = y = 4012.

Проверка решения уравнения

Подставим найденное значение х = y = 0 в изначальное выражение x * y = 2006 *  (x + y), тогда получим: 

0 * 0 = 2006 * (0 + 0);

0 = 2006 * 0;

0 = 0;

Верно; 

Подставим найденное значение х = y = 4012 в изначальное выражение x * y = 2006 *  (x + y), тогда получим: 

4012 * 4012 = 2006 * (4012 + 4012);

4012 * 4012 = 2006 * 2 * 4012;

2 * 2006 * 4012 = 2 * 2006 * 4012; 

4012 * 4012 = 4012 * 4012;

Верно;  

Отсюда получили, что уравнение X * y = 2006 * (x + y) имеет решение в целых числа при х = у = 0 и х = у = 4012.