Угол раствора проектора равен 60 на каком наименьшем расстоянии от проектора должен располагаться экран А высотой 3корня

Представим данные п условию значения в виде △ABC: ∠B = 90°, ∠C = 60° — угол раствора проектора, AB = 3√3 (высота экрана A) и BC (расстояние от проектора до экрана A) — катеты, AC — гипотенуза (так как лежит напротив прямого угла). 1. По теореме о сумме углов треугольника:∠A + ∠B + ∠C = 180°;∠A + 90° + 60° = 180°;∠A + 150° = 180°;∠A = 180° - 150°;∠A = 30°. 2. Так как катет BC лежит напротив угла, равного 30°, то он равен половине гипотенузы AC:BC = AC/2. 3. По теореме Пифагора:AC² = AB² + BC²;AC² = (3√3)² + (AC/2)²;AC² = 9 * 3 + AC²/4;AC² - AC²/4 = 27;(4 * AC² - AC²)/4 = 27;(3 * AC²)/4 = 27;AC² = (4 * 27)/3;AC² = 4 * 9;AC² = 36;AC = √36;AC = 6 м. 4. Найдем длину BC:BC = AC/2 = 6/2 = 3 м.Ответ: 3 метра.

Условие задачи на языке геометрии

Сделаем несколько допущений:

• проектор — точечный источник света, ограниченный углом 60°;
• проектор находится на линии, которая перпендикулярна к экрану и проходит через его центр.
• ось проектора совпадает с указанным выше перпендикуляром.

Если теперь рассечь вертикальной плоскостью проектор и экран так, чтобы она проходила через центр экрана, то можно выделить три точки: проектор, самая верхняя освещенная точка на экране, самая нижняя освещенная точка на экране.

На языке геометрии это можно записать так: найти высоту равнобедренного треугольника ABC, если угол B напротив основания AB равен 60°, а АВ = 3√3. См. рис.  http://bit.ly/2AFicW7.

Расстояние от экрана до проектора

Найдем высоту треугольника ABC.

Если угол напротив основания равнобедренного треугольника равен 60°, то на остальные два равных угла остается 120°. Поскольку эти углы равны, то каждый из них равен тоже 60°. Получается, что треугольник ABC – равносторонний.

Высота, опущенная на основание равностороннего треугольника совпадает с его биссектрисой и медианой. Она делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим треугольник BCH:

BC = AC;

HC = AC / 2.

Катет ВН будет высотой треугольника ABC. Применим к треугольнику ВСH теорему Пифагора:

BH^2+ HC^2= BC^2;

ВH^2 = BC^2 - HC^2 = AC^2 – (AC / 2)^2 = 3AC^2 / 4;

BH = √ (3AC^2 / 4) =  (AC * √3) / 2  = (3√3 * √3) / 2 = 9 / 2 = 4,5.

Ответ: Расстояние до экрана равно 4,5 м.