Квадрат со стороной 12 см разделили на клетки квадратной формы со стороной 4 см и отметили 37 точек. Докажите что в какой

Решение.

Чтобы разделить квадрат со стороной 12 см на клетки со стороной 4 см, нужно каждую сторону разделить на 12 / 4 = 3 части. В итоге у нас получится 3 ∙ 3 = 9 клеток.

Будем использовать для доказательства метод от противного. Предположим, что нет ни одной клетки, в которой не менее 5 точек. Значит, в каждой клетке максимум 4 точки. Раз у нас 9 клеток, то всего поставлено максимум 9 ∙ 4 = 36 точек. Но по условию задачи точек поставлено 37. Значит, наше предположение неверно, и хотя бы в одной клетке окажется не менее 5 точек, что и требовалось доказать.

В этой задаче вам необходимо доказать, что в одной из клеток, на которые был разделен квадрат, стоит не менее 5 точек, если известно, что:

• сторона квадрата 12 см;
• квадрат разделен на клетки квадратной формы со стороной 4 см;
• всего было отмечено 37 точек.

Прежде всего, узнаем, на сколько клеток был разделен квадрат. Для этого вычислим площадь квадрата S и площадь одной клетки S1, затем разделим площадь квадрата на площадь одной клетки, чтобы узнать, сколько получилось клеток в результате разделения:

S = 12 * 12 = 144 (см²);

S = 4 * 4 = 16 (см²);

N = 144 / 16 = 9 (клеток).

Поскольку нам ничего не известно о распределении точек в клетках квадрата, то оно может быть произвольным. К примеру, все точки могут быть отмечены только в одной клетке. Если все точки были бы отмечены в одной клетке тогда, очевидно их было бы более 5 в одной из клеток квадрата (точнее, их было бы 37). Но это крайний случай.

Представим противоположную ситуацию, когда точки расставляются поочередно в каждой из клеток квадрата. Тогда количество точек в одной клетке будет равно частному от деления количества точек на число квадратов:

37 / 9 = 4 ост (1).

Другими словами, расставив 36 точек по девяти клеткам квадрата (по 4 точки в одну клетку), останется поставить еще одну точку. Таким образом, в одной из клеток окажется 5 точек, что нам и требовалось доказать.