Один из углов прямоугольного треугольника равен 60 градусам, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 30 см. Найдите

По условию задачи дан прямоугольный треугольник АВС с катетами АВ и АС, прямым углом А и гипотенузой ВС. Будем считать, что нам известна величина угла В:

∠В = 60°;

Также известно, что сумма L длин гипотенузы ВС и меньшего катета равна 30 см. В задаче требуется вычислить длину гипотенузы прямоугольного треугольника АВС.

Запись уравнения по условию задачи

Для решения задачи:

• определяем углы треугольника, и какой из катетов является наименьшим;
• выражаем длину наименьшего катета через известные величины треугольника; 
• составляем уравнения по условию задачи о сумме L длин гипотенузы и меньшего катета;
• подставляем исходные данные и вычисляем длину гипотенузы.

Сумма внутренних углов треугольника равна 180°:

∠А + ∠В + ∠С = 180°;

Учитывая, что:

∠А = 90°;

получаем:

90° + 60° + ∠С = 180°;

∠С = 180° - 150° = 30°;

Как известно, меньшая сторона треугольника находится против меньшего угла. Меньшим углом данного треугольника является ∠С:

∠С < ∠B < ∠A;

и, соответственно, меньшей стороной является катет АВ. Воспользуемся далее тем, что косинус угла равен отношению длин прилежащего катета и гипотенузы:

cos(∠В) = |AВ| / |ВС|; 

Далее:

|AВ| = |ВС| * cos(∠В);

По условию задачи:

L = |AВ| + |ВС|;

L = |ВС| * cos(∠В) + |ВС|;

Находим неизвестное |ВС|: 

|ВС| = L / (1 + cos(∠В));

Вычисление длины гипотенузы ВС 

Подставляя исходные данные задачи в полученную формулы для гипотенузы, находим:

|ВС| = 30 / (1 + cos(60°));

|ВС| = 30 / (1 + 0,5) = 30 / 1,5;

|ВС| = 20 (см);

Ответ: длина гипотенузы равна 20 см.

Дано:Прямоугольный треугольник MKCугол М = 90 градусов,угол C = 60 градусов,CM + КС = 30 сантиметров.Найти длину гипотенузы CK - ?Решение:1) Рассмотрим прямоугольный треугольник MKC. Нам известно, что сумма градусных мер любого треугольника равна 180 градусов. Следовательно:угол К = 180 - (угол М + угол С);угол К = 180 - (90 + 60);угол К = 180 - 150;угол К = 30 градусов;2) В прямоугольном треугольнике напротив угла в 30 градусов лежит катет, который равен половине гипотенузы. Тогда МС = 1/2 * КС;КС = 2 * МС.Нам известно, что МС + КС = 30.Тогда МС + 2 * МС = 30;3 * МС = 30;МС = 30 : 3;МС = 10 сантиметров;КС = 2 * 10;КС = 20 сантиметров.Ответ: 20 сантиметров.