Дан куб с рёбрами 4 см. Найти диагональ куба.

Решение задания:1. Определение: Куб — это трехмерная фигура, которая состоит из шести одинаковых квадратов так, что каждый квадрат полностью соприкасается своими четырьмя сторонами к сторонам остальных четырех квадратов под прямым углом.2. Определение: Ребро куба - это отрезок, образованный пересечением двух граней куба. 3. Формула диагонали куба: d = a*√3, где а - ребро куба. 4. Таким образом получаем: d = 4√3 = 4 * 1,732 = 6,928 см. Ответ: d = 6,928 см.

Пусть нам дан куб ABCDA₁B₁C₁D_1. Обозначим длину его диагонали через d. По условию задачи, длина ребра а куба равна 4 см:

а = 4 (см);

Требуется вычислить длину d диагонали куба.

Диагональ куба

У куба все ребра равны, нижним основанием ABCD и верхним основанием  A₁B₁C₁D₁ являются квадраты со стороной а, и боковые ребра AA₁; BB₁; CC₁; DD₁ также равны а.

Диагональю куба называют отрезок, связывающий вершину нижнего основания с противолежащей вершиной верхнего основания, не принадлежащие одной грани. Иначе говоря, это должны быть такие вершины, чтобы отрезок полностью находился внутри куба.

Соответственно, у куба четыре диагонали:

AC₁; BD₁; CA₁; DB₁;

Для решения задачи необходимо:

• Выразить диагональ основания куба AC через ребро куба;
• Выразить далее диагональ куба AC₁;
• Подставить значение а и найти диагональ d.

Возьмем любой из прямоугольных треугольников, гипотенузой которого является диагональ куба, а катетами – боковое ребро и диагональ основания, например, треугольник AСC_1. В этом треугольнике диагональ куба AC₁ является гипотенузой, боковое ребро СC₁ и диагональ основания АС – катетами. Все такие треугольники равны по двум катетам и прямому углу между ними.

Вычисление диагонали куба

Из ∆АВС находим:

|АС|^2 = |АВ|^2 + |ВС|^2 = а^2 + а^2 = 2 * а^2;

Из треугольника AСC₁ следует:

|АС₁|^2 = |АС|^2 + |СС₁|^2;

или

d^2 = 2 * а^2 + а^2 = 3 * а^2;

Далее получаем:

d = √(3 * а^2);

d = a * √3;

Подставляя исходное значение, получаем:

d = 4 * √3 (см);

Ответ: диагональ куба равна 4√3 см.