Решить систему уравнения: (x-y)²-x+y=0 x²y²-xy-2=0

1) (x - y)^2 - x + y = 0. Преобразуем выражение: (x - y)^2 - (x - y)=0.

Произведем замену, пусть (х - у) = 1. Получается a^2 - a = 0.

а(а - 1) = 0; а = 0 или а = 1.

Возвращаемся к замене: х - у = 0 и х - у = 1.

2) x^2y^2 - xy - 2 = 0. Преобразуем выражение: (ху)^2 - ху - 2 = 0.

Произведем замену, пусть ху = в. Получается в^2 - в - 2 = 0.

D = 1 + 8 = 9 (√D = 3);

в₁ = (1 + 3)/2 = 2;

в₂ = (1 - 3)/2 = -1.

Возвращаемся к замене: ху = 2 и ху = -1.

3) У нас получились 4 уравнения в системе: 

х - у = 0;

х - у = 1;

ху = 2;

ху = -1.

Решаем систему, разбив на пары.

4) I система: х - у = 0; ху = 2.

Выразим х из первого уравнения х = у и подставим во 2-е уравнение.

у * у = 2; y^2 = 2; у₁ = √2; у₂ = -√2;

отсюда х₁ = √2; х₂ = -√2.

Решение неравенства: (√2; √2) и (-√2; -√2).

5) II система: х - у = 0; ху = -1.

Выразим х из 1-го уравнения х = у и подставим во 2-е уравнение.

у^2 = -1; у = √-1 (нет корней).

6) III система: х - у = 1; ху = 2.

Выразим х из 1-го уравнения: х = у + 1 и подставим во 2-е уравнение.

у(у + 1) = 2;

у^2 + у - 2 = 0; D = 1 + 8 = 9 (√D = 3);

y₁ = (-1 + 3)/2 = 1;

y₂ = (-1 - 3)/2 = -2;

отсюда х₁ = 1 + 1 = 2; х₂ = -2 + 1 = -1.

Решение неравенства (2; 1) и (-1; -2).

7) IV система: х - у = 1; ху = -1.

Выразим х из 1-го уравнения: х = у + 1 и подставим во 2-е уравнение.

у(у + 1) = -1;

у^2 + у + 1 = 0; D = 1 - 4 = -3 (нет корней).

Ответ: (√2; √2), (-√2; -√2), (2; 1) и (-1; -2).