Докажите что если острые углы прямоугольного треугольника относятся как 1:3,то бисектриса наибольшего угла равна одному

Обозначим через A = 90, B - больший угол, BM - биссектрису.

Тангенс угла B будет равен отношению катетов, то есть  3 : 1 = 3 ( по условию задачи), тогда угол A = 60 .

Так как BM  биссектриса то угол ABM равен:

60 : 2 = 30.

Тогда:

AM = AD * tg(30) = AD/√3

BM = √(AD)^2 + AD^2/3 = AD * 2/√3

Так как 3*AD = AC, BM = AC.