Решите систему: { 1 x−1 + 2 x−2 − 6 x−3 ≥0 √ x2+34≥6 √ x2+34≥6

Решим сначала каждое неравенство отдельно.

1) 1/(x − 1) + 2/(x − 2) − 6/(x − 3) ≥ 0.

Приведем дроби к общему знаменателю.

((х - 2)(х - 3) + 2(х - 1)(х - 3) − 6(х - 1)(х - 2))/(х - 1)(х - 2)(x − 3) ≥ 0;

(х² - 5x + 6 + 2(х² - 4х + 3) − 6(х² - 3х + 2))/(х - 1)(х - 2)(x − 3) ≥ 0;

(х² - 5x + 6 + 2х² - 8х + 6 − 6х² + 18х - 12)/(х - 1)(х - 2)(x − 3) ≥ 0;

(-3х² + 15х)/(х - 1)(х - 2)(x − 3) ≥ 0.

Вынесем -х в числителе за скобку:

-х(3х - 5)/(х - 1)(х - 2)(x − 3) ≥ 0.

Умножим неравенство на (-1), знак неравенства перевернется.

х(3х - 5)/(х - 1)(х - 2)(x − 3) ≤ 0.

Решим неравенство методом интервалов. Находим корни неравенства:

х = 0.

3х - 5 = 0; 3х = 5; х = 5/3 = 1 2/3.

х - 1 = 0; х = 1 (не входит в промежуток, это корень из знаменателя).

х - 2 = 0; х = 2 (не входит в промежуток).

х - 3 = 0; х = 3 (не входит в промежуток).

Отмечаем на числовой прямой точки 0, 1, 1 1/3, 2 и 3 (точки 1, 2 и 3 выкалываем), выделяем дугами интервалы, расставляем знаки каждого интервала, начиная в крайнего правого (+), а потом чередуя плюс и минус.

(-) 0 (+) 1 (-) 1 1/3 (+) 2 (-) 3 (+).

Так как знак неравенства ≤ 0, то ответом будут интервалы, где стоит знак (-).

Решением неравенства будут промежутки (-∞; 0], (1; 1 2/3] и (2; 3).

2) √(x² + 34) ≥ 6.

Возведем обе части неравенства в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня.

x² + 34 ≥ 36;

x² + 34 - 36 ≥ 0;

x² - 2 ≥ 0.

Рассмотрим функцию у = x² - 2, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; x² - 2 = 0; x² = 2; х = -√2 и х = √2.

Так как неравенство имеет знак ≥ 0, значит решением неравенства будут промежутки (-∞; -√2] и [√2; +∞).

3) Отмечаем на одной прямой оба решения неравенств, решение системы неравенств: (-∞; -√2], [√2; 1 2/3], (2; 3).

Ответ: х принадлежит промежуткам (-∞; -√2], [√2; 1 2/3] и (2; 3).