Найти производную y=x-ln(2+e^x)x0=0

Найдём производную функции: y = x – ln (2 + e^x).

Воспользовавшись формулами:

(ln x)’ = 1 / х (производная основной элементарной функции).

(e^x)’ = e^x (производная основной элементарной функции).

(с)’ = 0, где с – const (производная основной элементарной функции).

(u + v)’ = u’ + v’ (основное правило дифференцирования).

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

y\' = (x – ln (2 + e^x))’ = (x)’ – (ln (2 + e^x))’ = (x)’ – (2 + e^x)’ * (ln (2 + e^x))’ = (x)’ – ((2)’ + (e^x)’) * (ln (2 + e^x))’ = 1 – (0 + e^x) * (1 / (2 + e^x)) = 1 – (e^x / (2 + e^x)).

Вычислим значение производной в точке х0 = 0:

y\' = 1 – (e^0 / (2 + e^0)) = 1 – (1 / (2 + 1) = 1 – 1 / 3 = 2 / 3.

Ответ: y\' = 1 – (e^x / (2 + e^x)), а y\' (0) = 2 /3.