(х2-х+1) (х2-х-7)=65

Выполним замену:

x^2 – x = t.

Таким образом, исходное уравнение можно преобразовать к такому виду:

(t + 1) * (t – 7) = 65.

1. Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

t^2 – 7 * t + 1 * t – 7 = 65;

t^2 – 6 * t – 7 – 65 = 0;

t^2 – 6 * t – 72 = 0.

Найдем дискриминант:

D = (-6)^2 – 4 * 1 * (-72) = 36 + 288 = 324 = 18^2.

Найдем корни:

t1 = (- (-6) + 18)/(2 * 1) = (6 + 18)/2 = 24/2 = 12;

t2 = (-6) - 18)/(2 * 1) = (6 - 18)/2 = - 12/2 = - 6.

2.1. Найдем значения x при t = 12:

x^2 – x = 12;

x^2 – x – 12 = 0.

D = (-1)^2 – 4 * (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2.

x1 = (- (-1) + 7)/(2 * 1) = (1 + 7)/2 = 8/2 = 4;

x2 = (- (-1) - 7)/(2 * 1) = (1 - 7)/2 = - 6/2 = - 3.

2.2. Найдем значения x при t = - 6:

x^2 – x = - 6;

x^2 – x + 6 = 0.

D = (-1)^2 – 4 * 6 = 1 – 24 = -23.

Так как дискриминант меньше 0, то уравнение корней не имеет.

Ответ: x1 = 4; x2 = -3.