Решите уравнение |x + 1| – |x| + 3|x – 1| – 2|x – 2| = x + 2

• Сначала определяем значения переменной, в которых модули меняют знаки.
• Рассматривается два (или больше) интервалов, на которые разбивает значение модуля (или нескольких модулей).
• Определяется знак каждого модуля на каждом интервале.
• Далее раскрываем модули в соответствии со знаком промежутка.

В данном уравнении 4 модуля. Найдем значения х, где модули меняют знак.

I модуль: х + 1 = 0; х = -1.

II модуль: х = 0.

III модуль: х - 1 = 0; х = 1.

IV модуль: х - 2 = 0; х = 2.

Получилось 5 интервалов: (-∞; -1), (-1; 0), (0; 1), (1; 2) и (2; +∞).

Определим знаки модулей на каждом промежутке.

https://bit.ly/2GWUh8h

1) Интервал (-∞; -1): раскрываем модули в соответствии со схемой, все модули - со знаком (-).

(-x - 1) – (-x) + 3(-x + 1) – 2(-x + 2) = x + 2.

Решаем полученное уравнение.

-х - 1 + х - 3х + 3 + 2х - 4 - х = 2.

-2х - 2 = 2.

-2х = 4.

х = 4/(-2) = -2.

2) Интервал (-1; 0): I модуль раскрываем со знаком (+), а остальные - со знаком (-).

(x + 1) – (-x) + 3(-x + 1) – 2(-x + 2) = x + 2.

х + 1 + х - 3х + 3 + 2х - 4 - х = 2.

0 = 2 (неверное равенство, корней нет).

3) Интервал (0; 1): I и II модули раскрываем со знаком (+), а III и IV модуль - со знаком (-).

(x + 1) – (x) + 3(-x + 1) – 2(-x + 2) = x + 2.

х + 1 - х - 3х + 3 + 2х - 4 - х = 2.

-2х = 2.

х = 2/(-2) = -1.

4) Интервал (1; 2): IV модуль раскрываем со знаком (-), а остальные - со знаком (+).

(x + 1) – (x) + 3(x - 1) – 2(-x + 2) = x + 2.

х + 1 - х + 3х - 3 + 2х - 4 - х = 2.

4х - 6 = 2.

4х = 8.

х = 8/4 = 2.

5) Интервал (2; +∞): все модули раскрываем со знаком (+).

(x + 1) – (x) + 3(x - 1) – 2(x - 2) = x + 2.

х + 1 - х + 3х - 3 - 2х + 4 - х = 2.

2 = 2 (верное равенство, х - любое число).

Ответ: корни уравнения равны -2, -1, 2 и х - любое число на промежутке (2; +∞).

|x + 1| – |x| + 3|x – 1| – 2|x – 2| = x + 2.

Определим значения, где модуль меняет знак:

I. х + 1 = 0; х = -1.

II. х = 0.

III. х - 1 = 0; х = 1.

IV. х - 2 = 0; х = 2.

Будем раскрывать знаки модуля в соответствии с промежутком:

1) х < -1. Все модули раскрываем со знаком (-).

-(x + 1) – (-x) + 3(1 - х) – 2(2 - х) = x + 2;

- х - 1 + х + 3 - х - 4 + х = х - 2;

-2 = х - 2;

х = 0 (сторонний корень, х должен быть меньше -1).

2) -1 < x < 0. I модуль раскрываем с (+), остальные с (-).

(x + 1) + x - 3(x – 1) + 2(x – 2) = x + 2;

х + 1 + х - 3х + 3 + 2х - 4 = х + 2;

х = х + 2;

х - х = 2;

0 = 2 (нет корней).

3) 0 < х < 1. I и II модуль раскрываем со знаком (+), а III и IV со знаком (-).

(x + 1) – x - 3(x – 1) + 2(x – 2) = x + 2;

х + 1 - х - 3х + 3 + 2х - 4 = х + 2;

-х = х + 2;

-х - х = 2;

-2х = 2; х = -1 (сторонний корень).

4) 1 < х < 2. I, II и III модуль раскрываем со знаком (+), а IV со знаком (-).

(x + 1) – x + 3(x – 1) + 2(x – 2) = x + 2;

x + 1 - x + 3x - 3 + 2х - 4 = х + 2;

5х - 6 = х + 2;

5х - х = 6 + 2;

4х = 8;

х = 2 (сторонний корень).

5) х > 2. Все модули раскрываем со знаком (+).

x + 1 – x + 3x – 3 – 2x + 4 = x + 2;

х + 2 = х + 2;

х - х = 2 - 2;

0 = 0, х - любое число на промежутке x > 2.