Будет ли сумма чисел 1 + 2 + 3 + ......+ 2005 + 2006 + 2007 делиться на 2007? Ответ обоснуйте.

Первые 2006 чисел разобьем на две группы 1+2+3 …+1003 и 1004+1005+…+2006. В каждой группе будет по 1003 слагаемых. Если теперь брать числа из двух групп и суммировать попарно так, чтобы первое число нарастало от 1 до 1003, а второе число уменьшалось с 2006 до 1004, то в каждой такой сумме получим число 2007. Весь ряд тогда можно представить в виде

2007 + (1 + 2006) + (2 + 2005) +…+ (1003 + 1004) = 2007 + 1003*2007 = 1004*2007.

Сумму чисел удалось представить в виде сомножителей, один из которых равен числу 2007. Следовательно, сумма чисел  1 + 2... 2006 + 2007 будет делиться на число 2007.