В равнобедренный треугольник abc с основанием ac и периметром 13 вписана окружность, k - точка касания этой окружности

Проведем высоту ВН, она пройдет через точку О (центр вписанной окружности), так как треугольник равнобедренный.

Периметр треугольника АВС равен 13 см, значит сумма двух отрезков ВС + СН равна 13/2 = 6,5 см (так как АВ = ВС и высота ВН является медианой, СН - половина АС).

Рассмотрим треугольники КОС и СОН: оба треугольника прямоугольные, ОК = ОН (радиусы окружности), ОС - общая сторона. Значит, треугольники равны.

Следовательно, КС = НС. Обозначим эту длину на Х.

Так как ВС + СН = 6,5, а ВС + СН = 6 + х + х, получается уравнение:

6 + 2х = 6,5.

2х = 6,5 - 6;

2х = 0,5;

х = 0,5/2 = 0,25.

Основание АС в два раза больше длины отрезка СН, получается, что АС = 0,25 * 2 = 0,5 см.

Ответ: основание треугольника АС равно 0,5 см.