Найдите наименьшее значение функции f(x)=2^(x)+2^(2-x) на отрезке [0;2]

f(x) = 2^x + 2^(2-x);

1. Найдем производную функции:

f\'(x) = 2^x * ln(2) - 2^(2-x) * ln(2);

2. Найдем критические точки:

2^x * ln(2) - 2^(2-x) * ln(2) = 0;

2^x * ln(2) - 2² / 2^x  * ln(2) = 0;

Умножим все выражение на 2^x, получим:

2^2х * ln(2) - 4 * ln(2) = 0;

ln(2) * (2^2х - 4) = 0;

2^2х - 4 = 0;

2^2х = 2²;

2x = 2;

x = 1;

Точка х = 1 входит в заданный промежуток [0; 2].

3. Находим значение функции в точке, подозрительной на экстремум и на краях промежутка:

f(0) = 2⁰ + 2^(2-0) = 5;

f(1) = 2¹ + 2^(2-1) = 4;

f(2) = 2² + 2^(2-2) = 5.

Итак, из полученных значений наименьшим является 4. 

Ответ: 4.