Корень x + корень x -5= корень 10 - x

Решим иррациональное уравнение:

√х + √(х - 5) = √(10 - х).

1) Возведем уравнение в квадрат и выполним преобразования:

х + 2√(х * (х - 5)) + х - 5 = 10 - х;

2х - 5 + 2√(х^2 - 5х) = 10 - х;

2√(х^2 - 5х) = 10 - х - 2х + 5;

2√(х^2 - 5х) = 15 - 3х.

2) Полученное уравнение еще раз возводим в квадрат:

4 * (х^2 - 5х) = 225 - 90х + 9х^2;

4х^2 - 20x = 225 - 90х + 9х^2;

9х^2 - 4х^2 - 90x + 20x + 225 = 0;

5х^2 - 70x + 225 = 0;

х^2 - 14x + 45 = 0.

3) Решим квадратное уравнение по теореме Виета:

х₁ + х₂ = 14;

х₁ * х₂ = 45;

х₁ = 9, х₂ = 5.

4) Проверка:

при х₁ = 9

√9 + √(9 - 5) = √(10 - 9);

3 + 2 = 1;

5 = 1, получено неверное равенство, значит, х = 9 — посторонний корень заданного уравнения;

при х₂ = 5

√5 + √(5 - 5) = √(10 - 5);

√5 + √0 = √5;

√5 = √5, получено верное равенство, поэтому х = 5 является корнем заданного уравнения.

Ответ: х = 5.