Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии если в5 = 81 и в3 = 36.

Определение: геометрическая прогрессия - последовательность чисел, в которой каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на постоянное число q, называемое знаменателем прогрессии: b_n = b_n-1 * q. Или b_n = b₁ * q^n-1. Сумма n первых членов геометрической прогрессии  S_n= b₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q).

Из условия задачи составим два уравнения:

• b₅ = b₁ * q⁴ = 81;
• b₃ = b₁ * q² = 36.

Раздели первое уравнение на второе. Получим: q² = 81 / 36. Отсюда q = ±(9 / 6) = ±1,5. Отрицательный корень не соответствует условию задачи, так как прогрессия возрастающая:b₅ > b₃. Поэтому q = 1,5. 

Из второго уравнения b₁ = 36 / q² = 36 / 1,5² = 16.

Сумма S₅ = 16 * (1 - 1,5⁵) / (1 - 1,5) = 16 * (1 - 7,59375) / 0,5 = 211.

Ответ: сумма первых пяти членов прогрессии равна 211.