Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=x+4/x на отрезке [1; 3]. Решение полностью.

Решение задачи:

1) Находим производную функции y =x + 4/x:

y\' = (x + 4/x)\' = 1 - 4/x².

2) Вычисляем критические точки функции при у\' = 0:

1 - 4/x² = 0,

x_1,2 = ±2.

x = -2, точка не принадлежит отрезку [1; 3].

3) Находим значение функции в критической точке и на концах ее отрезка:

y(1) = 1 + 4/1 = 5 - max,

y(2) = 2 + 4/2 = 4 - min,

y(3) = 3 + 4/3 = 13/3 ≈ 4,33.

Ответ: наибольшее значение функции y =x + 4/x на отрезке [1; 3] y(1) = 5, а наименьшее - y(2) = 4.