Найдите наименьшее и наибольшее значение функции у=-2(х-1)^2 на отрезке (-1;2)

1) Найдем производную данной функции.

y = -2(х - 1)².

у\' = -2 * 2(х - 1)^2-1 * (x - 1)\' = -4(x - 1) * 1 = -4(х - 1) = -4х + 4.

2) Приравняем производную к нулю.

у\' = 0; -4х + 4 = 0; -4х = -4; х = 4/4 = 1.

3) Определим знаки производной на каждом промежутке.

(-∞; 1) пусть х = 0, у\' = -4х + 4 = 4 * 0 + 4 = 4. Производная положительна, функция возрастает.

(1; +∞) пусть х = 2, у\' = -4х + 4 = -4 * 2 + 4 = -4. Производная отрицательна, функция убывает.

4) Находим точки экстремума. Получается х = 1 это точка максимума функции.

х_max = 1.

Точкой минимума на промежутке [-1; 2] будет х = -1.

х_min = -1.

5) Найдем минимальное значение функции:

х = -1, y = -2(х - 1)² = -2(-1 - 1)² = -2 * 4 = -8.

Найдем максимальное значение функции:

х = 1; y = -2(1 - 1)² = -2 * 0 = 0.

Ответ: минимальное значение функции на промежутке [-1; 2] равно -8, а максимальное значение равно 0.