Y=x^2(x-3)^2 найдите точки экстремумы функции

у = x²(x - 3)².

Найдем производную функции по формуле производной произведения.

у\' = (x²)\' * (x - 3)² + x² * ((x - 3)²)\' = 2x * (x - 3)² + x² * 2(x - 3) = 2x(x² - 6х + 9) + 2x²(x - 3) = 2x³ - 12х² + 18x + 2x³ - 6х² = 4x³ - 18х² + 18x = 2x(2х² - 9х + 9).

Найдем нули производной:

у\' = 0; 

2x(2х² - 9х + 9) = 0.

Отсюда 2х = 0; х = 0.

Или 2х² - 9х + 9 = 0; D = 81 - 72 = 9 (√D = 3);

х₁ = (9 - 3)/4 = 6/4 = 1,5.

х₂ = (9 + 3)/4 = 3.

Определяем знаки каждого промежутка:

(-∞; 0) пусть х = -1; у\'(-1) = -40 (минус), функция убывает.

(0; 1,5) пусть х = 1; у\'(1) = 4 (плюс), функция возрастает.

(1,5; 3) пусть х = 2; у\'(2) = -22 (минус), функция убывает.

(3; +∞) пусть х = 4; у\'(4) = 40 (плюс), функция возрастает.

Значит, х = 0 и х = 3 - это точки минимума функции, а х = 1,5 - это точка максимума.