в треугольнике abc угол с равен 90 градусов, ab = 17, tgA=3/5. найти высоту ch

В треугольнике abc известно: 

• Угол С = 90°; 
• ab = 17; 
• tg A = 3/5. 

Найдем высоту ch.

Решение:

1) Найдем cos A. 

1 + tg^2 a = 1/cos^2 a; 

1 + (3/5)^2 = 1/cos^2 a; 

1 + 9/25 = 1/cos^2 a; 

25/25 + 9/25  = 1/cos^2 a; 

34/25 = 1/cos^2 a; 

cos^2 a = 25/34; 

cos a = 5/√34; 

2) cos a = AC/AB; 

AC = AB * cos a; 

Подставим известные значения и вычислим катет прямоугольного треугольника.  

АС = 17 * 5/√34 = 17 * 5 *  √34/34 = 1 * 5 * √34/2 = 5/2 * √34; 

3) Рассмотрим треугольник АСН с прямым углом Н. 

sin a = √(1 - 25/34) = √(34/34 - 25/34) = √9/34 = 3/√34; 

sin a = ch/ac; 

ch = ac * sin a = 5√34/2 * 3/√34 = 5/2 * 3 = 2.5 * 3 = 7.5; 

Ответ: сh = 7.5.