Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке y=x^4+8x^3+16x^2 (-3;1)

1. Найдем первую производную функции:

у\' = (х^4 + 8х^3 + 16х^2) = 4х^3 + 24х^2 + 32х.

2. Приравняем эту производную к нулю:

4х^3 + 24х^2 + 32х = 0;

4х * (х^2 + 6х + 8) = 0;

4х = 0;

х = 0.

х^2 + 6х + 8 = 0.

D = b^2 - 4ac = 36 - 4 * 1 * 8 = 36 - 32 = 4.

x1 = (-b + √D)/2a = (-6 + 2)/2 = -4/2 = -2;

x2 = (-b - √D)/2a = (-6 - 2)/2 = -8/2 = -4.

Точка х = -4 не пренадлежит заданному отрезку.

3. Найдем значение функции в точке х = -2 и на концах заданного отрезка [-3; 1]:

у(-3) = (-3)^4 + 8 * (-3)^3 + 16 * (-3)^2 = 81 - 216 + 144 = 9;

у(-2) = (-2)^4 + 8 * (-2)^3 + 16 * (-2)^2 = 16 - 64 + 64 = 16;

у(1) = 1^4 + 8 * 1^3 + 16 * 1^2 = 1 + 8 + 16 = 25.

Ответ: fmax = 25, fmin = 9.