Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=x3+3x2-45x-2 на отрезке [0;2]

1. Найдем первую производную функции:

у\' = (х^3 + 3х^2 - 45х - 2)\' = 3х^2 + 6х - 45.

2. Приравняем эту производную к нулю:

3х^2 + 6х - 45 = 0.

Поделим уравнение на 3:

х^2 + 2х - 15 = 0.

D = b^2 - 4ac = 4 + 4 * 15 = 4 + 60 = 64.

x1 = (-b + √D)/2a = (-2 + 8)/2 = 6/2 = 3;

x2 = (-b - √D)/2a = (-2 - 8)/2 = -10/2 = -5.

Эти точки не пренадлежат заданному отрезку.

3. Найдем значение функции на концах заданного отрезка [0; 2]:

у(0) = -2;

у(2) = 2^3 + 3 * 2^2 - 45 * 2 - 2 = 8 + 12 - 90 - 2 = 20 - 92 = -72.

Ответ: fmax = -2, fmin = -72.