2х|х+3|+2х+5|х+3|+5=0

Определим значение х, где модуль меняет знак:

х + 3 = 0; х = -3.

Получается два промежутка: 1) (-∞; -3) модуль (-); 2) (-3; +∞) модуль (+).

2х|х + 3| + 2х + 5|х + 3| + 5 = 0.

1) (-∞; -3) раскрываем модуль со знаком (-).

2х(-х - 3) + 2х + 5(-х - 3) + 5 = 0.

-2х² - 6x + 2х - 5х - 15 + 5 = 0.

-2х² - 9х - 10 = 0.

Умножаем на (-1):

2х² + 9х + 10 = 0.

D = 81 - 80 = 1 (√D = 1);

х₁ = (-9 - 1)/4 = -10/4 = -2,5 - не подходит, так как не входит в промежуток (-∞; -3).

х₂ = (-9 + 1)/4 = -8/4 = -2 - не подходит, так как не входит в промежуток (-∞; -3).

2) (-3; +∞) раскрываем модуль со знаком (+).

2х(х + 3) + 2х + 5(х + 3) + 5 = 0.

2х² + 6x + 2х + 5х + 15 + 5 = 0.

2х² + 13х + 20 = 0.

D = 169 - 160 = 9 (√D = 3);

х₁ = (-13 - 3)/4 = -16/4 = -4 - не подходит, так как не входит в промежуток (-3; +∞).

х₂ = (-13 + 3)/4 = -10/4 = -2,5.

Ответ: корень уравнения равен -2,5.