Найти сумму шести первых членов геометрической прогрессии (Yn), если Y4=40,Y7=320

Дано: (Y_n) - геометрическая прогрессия;

Y₄ = 40; Y₇ = 320;

Найти: S₆ - ?

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

Y_n = Y₁ * q^(n – 1),

где Y₁ – первый член прогрессии, q – её знаменатель, n – количество членов;

С помощью этой формулы выразим четвертый, шестой и седьмой члены заданной прогрессии:

Y₄ = Y₁ * q^(4 – 1) = Y₁ * q^3;

Y₆ = Y₁ * q^(6 – 1) = Y₁ * q^5;

Y₇ = Y₁ * q^(7 – 1) = Y₁ * q^6.

Учитывая условие, можем составить систему уравнений:

Y₁ * q^3 = 40,                   (1)

Y₁ * q^6 = 320                  (2)

Из (1) уравнения выразим Y₁:

Y₁ = 40 : q^3,

Подставим полученное выражение во (2) уравнение системы:

40 : q^3 * q^6 = 320;

40 * q^3 = 320;

q^3 = 8;

q = 2.

Полученное значение знаменателя q подставляем в выражение для нахождения Y₁:

Y₁ = 40 : q^3 = 40 : 2^3 = 5.

Подставим полученные значения в формулу Y₆ = Y₁ * q^5 = 5 * 2^5 = 160.

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии:

S_n = (Y_n * q – Y₁) / (q – 1),

т.о. S₆ = (Y₆ * q – Y₁) / (q – 1) = (160 * 2 – 5) / (2 – 1) = 315.

Ответ: S₆ = 315.