Упростить выражение: (cos2α-cos6α+cos10α-cos14α)/(sin2α+sin6α+sin10α+sin14α)

Преобразуем первую скобку при помощи формулы разности косинусов:cos(α) - cos(β) = 2∙sin[(α + β)/2]∙sin[(β - α)/2]

cos2α - cos6α = 2∙sin[(2α + 6α)/2]∙sin[(6α - 2α)/2];cos2α - cos6α = 2∙sin(4α)∙sin(2α);

cos10α - cos14α = 2∙sin[(10α + 14α)/2]∙sin[(14α - 10α)/2];cos10α - cos14α = 2∙sin(12α)∙sin(2α);

2∙sin(4α)∙sin(2α) + 2∙sin(12α)∙sin(2α) == 2∙sin(2α)∙[sin(4α) + sin(12α)].

Преобразуем вторую скобку при помощи формулы суммы синусов:sin(α) ± sin(β) = 2∙sin[(α ± β)/2]∙cos[(α ∓ β)/2].

sin6α + sin2α = 2∙sin[(6α + 2α)/2]∙cos[(6α - 2α)/2];sin6α + sin2α = 2∙sin(4α)∙cos(2α);

sin14α + sin10α = 2∙sin[(14α + 10α)/2]∙cos[(14α - 10α)/2];sin14α + sin10α = 2∙sin(12α)∙cos(2α);

2∙sin(4α)∙cos(2α) + 2∙sin(12α)∙cos(2α) == 2∙cos(2α)[sin(4α) + sin(12α)].

Сократим получившуюся дробь:2∙sin(2α)∙[sin(4α) + sin(12α)]/2∙cos(2α)[sin(4α) + sin(12α)] ⇔⇔ sin(2α)/cos(2α) ⇔⇔ tg(2α)

Ответ: (cos2α - cos6α + cos10α - cos14α) ÷ (sin2α + sin6α + sin10α + sin14α) = tg(2α).