Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

y=x2−12x+38,  y=−x2+16x−58

y1 = x^2 - 12x + 38

y2 = -x^2 + 16x - 58

Сначала найдем пределы интегрирования, то есть точки пересечения линий.

x^2 - 12x + 38 = -x^2 + 16x - 58

2x^2 - 28x + 96 = 0

x^2 - 14x + 48 = 0

(x - 6)(x - 8) = 0

x1 = 6, x2 = 8

Найдем значения функций в одной точке внутри промежутка:

y1(7) = 7^2 - 12*7 + 38 = 49 - 84 + 38 = 3

y2(7) = -7^2 + 16*7 - 58 = -49 + 112 - 58 = 5

y2 > y1, значит, парабола y2 лежит выше параболы y1.

Площадь есть интеграл разности функций:

S = Int(6; 8) (-x^2 + 16x - 58 - x^2 + 12x - 38) dx = Int(6; 8) (-2x^2 + 28x - 96) dx =

= (-2x^3/3 + 14x^2 - 96x) |(6; 8) =

= (-2*8^3/3 + 14*8^2 - 96*8) - (-2*6^3/3 + 14*6^2 - 96*6) =

= -1024/3 + 896 - 768 + 144 - 504 + 576 = -341 - 1/3 + 128 + 144 + 72 = 3 - 1/3 = 8/3

Посчитано в уме, без калькулятора!

Ответ: S = 8/3