Почему исчезает корень при решении уравнении [tex] x-3+\sqrt{\frac{x-3}{x+3}}=\frac{12}{x+3} [/tex] следующим образом: умножаем обе части на x+3, в итоге получаем уравнение [tex] x^2-9+\sqrt{x^2-9} -12=0 [/tex], далее заменяем [tex] \sqrt{x^2-9} =a [/tex] и получаем обычный квадратный трёхчлен вида [tex] a^2+a-12=0 [/tex] решив который получаем корни 3 и -4, но -4 не подходит, т.к. результатом арифметического квадратного корня не может быть отрицательное число, остаётся только 3 и уравнение [tex] \sqrt{x^2-9} =3 [/tex], корнями которого будут [tex] \sqrt{18} [/tex] и [tex] -\sqrt{18} [/tex], но [tex] -\sqrt{18} [/tex] не входит в область определения, остаётся только [tex] \sqrt{18} [/tex]. Но вот должен быть ещё один корень: -5. Куда он делся? Я вообще всегда думал, что при умножении обеих частей на переменную количество корней может только увеличиваться, т.е. появляются побочные, но исчезать, это что-то новенькое, кто-нибудь надеюсь объяснит.

Интересно то, что если взять ваше 2-е действие и там домножить обе части на x+3, а затем возвести их в квадрат, то ответ получится точно таким же

еще интересно: мною предложенная замена и ваша очень рядом...

и еще можно сразу ввести замену: весь корень из дроби заменить на (а) и найти зависимость (выразить) оставшийся икс через (а)... получится то же самое и корень не потеряется...

могу предложить такое рассуждение:

(сейчас еще подумаю, где теряется в вашем решении...)