Осевым сечением цилиндра является прямоугольник, диагональ которого, равна 12 см, образует с плоскостью основания угол

Как мы видим из условия задания, диагональ прямоугольника образует  с плоскостью угол 45°, то есть делит угол прямоугольника пополам, то есть наш прямоугольник является квадратом.

А, значит, высота цилиндра будет равняться диаметру его основания.

Выясним, скольким сантиметрам будет равняться высота цилиндра, если нам известно из условия, что диагональ прямоугольника равна 12 см:

√(12² : 2) = √72 = 6√2.

Выясним, скольким сантиметрам равен радиус основания:

6√2 : 2 = 3√2.

Выясним чему равен объем цилиндра:

3,14 * (3√2)² * 6√2 = 339,12√2.

Ответ: 339,12√2 см³.