Апофема правильной треугольной пирамиды равна 15 см, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, -12

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2NyEmkK).

Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, есть высота пирамиды, тогда треугольник ДОН прямоугольный.

ОН² = ДН² – ДО² = 225 – 144 = 81.

ОН = 9 см.

АН в правильном треугольнике АВС есть высота и медиана, тогда по свойству медиан, ОА = 2 * ОН = 2 * 9 = 18 см. Тогда АН = ОА + ОН = 18 + 9 = 27 см.

В прямоугольном треугольнике АНС СН = АС / 2. Пусть СН = Х см, тогда АС = 2 * Х см.

По теореме Пифагора, 4 * Х² = АН² + Х².

3 * Х² = 729.

Х² = 729 / 3 = 243.

Х = СН = 9 * √3 см.

СВ = 2 * СН = 18 * √3 см.

Треугольник ДСН прямоугольный, тогда СД² = ДН² + СН² = 225 + 243 = 468.

СД = 6 * √13 см.

Sдвс = СВ * ДН / 2 = 18 * √3 * 15 / 2 = 135 * √3 см².

Тогда Sбок = 3 * Sдвс = 3 * 135 * √3 = 405 * √3 см².

Определим площадь основания пирамиды. Sосн = СВ * АН / 2 = 18 * √3 * 27 / 2 = 243 * √3 см².

Тогда Sпов = Sбок + Sосн = 405 * √3 + 243 * √3 = 648 * √3 см².

Ответ: Боковое ребро равно 6 * √13 см, боковая площадь равна 405 * √3 см², полная поверхность равна 648 * √3 см².