Внутри треугольника ABC взята точка M такая, что площади треугольников AMB, BMC и AMC равны. Докажите, что M – точка

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2KDfLLB).

Из точки М проведем медианы МК, МН, МР треугольников АМВ, СМВ, АМБ.

По свойству медиан треугольников площадь треугольников АМК = ВМК, ВМН = СМН, АМР = СМР.

Sавр = Sамр + Sавм.

Sвср = Sсмр + S вмн.

Тогда и площади треугольников АВР =   ВСР. Тогда ВР медиана АВС.

Аналогично площадь треугольника ВМН = СМН, а АН медиана АВС.

Тогда точка М есть точка пересечения медиан, что и требовалось доказать.