В выпуклом четырехугольнике ABCD все стороны имеют разные длины. Диагонали четырехугольника пересекаются в точке О, ОС=5см,

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2SyS1K0).

Рассмотрим треугольники ВОС и АОД.

У треугольников угол ВОС = АОД как вертикальные углы.

Отношение ВО / ДО = 6 / 18 = 1 / 3.

Отношение СО / АО = 5 / 15 = 1 / 3.

Тогда треугольники ВОС и АОД подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

У подобных треугольников сходственные углы равны, угол АДВ = СВД, а так как это накрест лежащие углы при прямых ВС и АД и секущей АС, то прямые АД и ВС параллельны, следовательно АВСД трапеция, у которой АД и ВС основания, что и требовалось доказать.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Sвос / Sаод = (1 / 3)² = 1 / 9.

Ответ:  Отношение площадей треугольников равно 1 / 9.