Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 4 и составляет с плоскостью боковой грани угол 30 . найти объем призмы

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2MAvvNs).

Рассмотрим прямоугольны треугольник АВД1, у которого угол Д1, по условию, равен 30⁰, тогда катет АВ, равен половине гипотенузы ВД1.

АВ = ВД1 / 2 = 4 / 2 = 2 см.

Так как в основании призмы квадрат, то АВ = АД = ВС = СД = 2 см.

Определим длину диагонали ВД, которая является диаметром окружности в основании цилиндра.

ВД = АВ * √2 = 2 * √2 см.

Определим длину катета АД1.

АД1 = ВД1 * Cos30⁰ = 4 * √3 / 2 = 2 * √3 см.

Из прямоугольного треугольника АДД1 определим высоту призмы и цилиндра ДД1.

ДД1² = АД1² – АД² = (2 * √3)² - 2² = 12 – 4 = 8.

ДД1 = √8 = 2 * √2 см.

Определим площадь основания призмы.

Sосн = АВ * ВС = 2 * 2 = 4 см².

Тогда объем призмы равен:

Vпр = Sосн * ДД1 = 4 * 2 * √2  = 8 * √2  см³.

Определим площадь основания описанного цилиндра.

Sосн.цил = (п * ВД²) / 4 = п * (2 * √2)² / 4 = п * 2 см².

Определим объем цилиндра.

Vц = Sосн.цил * ДД1 = п * 2 * 2 * √2  = п * 4 * √2 см³.

Ответ: Объем призмы равен Vпр = 8 * √2  см³, объем цилиндра равен Vц = п * 4 * √2 см³.