В равнобедренном треугольнике АВС вписана окружность.ВС=8см(основание). Периметр треугольника = 40 см.KLM-точки касания

Зная по условию периметр и основание равнобедренного треугольника, находим боковую сторону. АВ = АС = (Р – ВС) / 2 = (40 – 8) / 2 = 16 (см). Рассмотрим прямоугольные треугольники ВКО и ВМО. В них ВО – общая гипотенуза, ОК = ОМ (радиусы вписанной окружности), ∠КВО = ∠ МВО (ВО – биссектриса угла В), ∠ВКО = ∠ВМО = 90° (радиусы – перпендикуляры к касательным), следовательно и ∠ КОВ = ∠ МОВ. Делаем вывод, что треугольники равны. ВК = ВМ = 1/2 * ВС = 4 (см). АК = АВ – ВК = 16 – 4 = 12 (см). По теореме Пифагора находим высоту АМ: AM = √(AB² - BM²) = √(16² - 4²) = √240 = 4√15 (см). Рассмотрим прямоугольные треугольники АМВ и АКО, они подобны (острый угол А – общий). Запишем отношение сторон и найдём ОК – радиус вписанной окружности. АК / АМ = ОК / ВМ; ОК = АК * ВМ / АМ = 12 * 4 / 4√15 = 12/√15 (см). Ответ: ВК = 4 см, АК = 12 см, радиус вписанной окружности 12/√15 см.