В треугольнике ABC AB=BC=12см, AC=8кореньиз5 см. Из точки B проведен перпендикуляр BM к плоскости треугольника. BM=6см.

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2Ejczku).

Построим высоту ВН треугольника АВС. Так как треугольник АВС равнобедренный, то высота ВН так же есть и медиана треугольника, тогда АН = СН = АС / 2 = 8 * √5 = 4 * √5 см.

Из прямоугольного треугольника АВН, по теореме Пифагора определим длину катета ВН.

ВН² = АВ² – АН² = 144 – 80 = 64.

ВН = 8 см.

Так как ВМ перпендикулярно плоскости АВС, то треугольник ВНМ прямоугольный.

ВН есть проекция НМ на плоскость АВС, а так как ВН перпендикулярно АС, то и НМ так же перпендикулярно АС, а следовательно и есть расстояние от точки М до АС.

НМ² = ВМ² + ВН² = 36 + 64 = 100.

НМ = 10 см.

Угол между плоскостями АВС и АМС есть линейный угол МНВ, тогда SinМНВ = ВМ / МН = 6/10 = 3/5.

Угол МНВ = arcsin(3/5) ≈ 37⁰.

Ответ: От точки М до АС 10 см, угол между плоскостями 37⁰.