В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) длина средней линии MN равна 6 (М принадлежит АВ, N принадлежит ВС), а синус

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2E2x7O3).

Так как точки М и Н середины сторон АВ и ВС, то МН средняя линия треугольника АВ, тогда АС = 2 * МН = 2 * 6 = 12 см.

Определим CosA.

Cos²A = 1 – Sin²A = 1 – 16/25 = 9/25.

CosA = 3/5.

По условию, АВ = ВС, тогда, по теореме косинусов:

ВС² = АВ² + АС² – 2 * АВ * АС * CosA.

BC² = AB² + 144 – 2 * AB * 12 * 3/5.

72 * AB = 144 * 5.

AB = 10 см.

Тогда ВМ = ВН = АВ / 2 = 5 см.

Так как АС параллельно МН, то угол ВМН = АВС.

Определим площадь треугольника ВМН.

Sвмн = ВМ * ВМ * SinВМН / 2 = 5 * 6 * 4 / 10 = 12 см².

Полупериметр треугольника ВМН равен: р = (5 + 5 + 6) / 2 = 8 см.

Тогда радиус вписанной окружности равен: R = Sвмн / р = 12 / 8 = 1,5 см.

Ответ: Радиус окружности равен 1,5 см.