В равностороннем треугольнике АВС со стороной а проведена высота АD и в треугольник АDС вписан квадрат DMNЕ,где точки

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/36rQ60O).

Так как треугольник АВС равносторонний, то его высота АД так же есть его медиана и биссектриса.

Тогда ВД = СД = ВС / 2 = а / 2 см.

Высота АД равностороннего треугольника АВС равна: АД = ВС * √3 / 2 = а * √3 / 2 см.

Пусть сторона квадрата равна Х см, тогда СМ = (а / 2) – Х см, АЕ = (а * √3 / 2) – Х см.

Пусть АД = а * √3 / 2 = У см, АЕ = (а * √3 / 2) – Х = Z см.

Прямоугольные треугольники АЕН и НМС подобны по острому углу.

Тогда АЕ / ЕН = НМ / СМ.

(Z – Х) / Х = Х / (У – Х).

Х2 = У * Z – Х * У – Х * Z + Х2.

Х * (У +Z) = У * Z.

X = У * Z / (У + Z) = (а * √3 / 2) * (а / 2) / (а * √3 / 2) + (а / 2) = (а² * √3 / 4) / а * ((1 + √3) / 2) =

(а * √3) / 2 * (1 + √3).

Ответ: Сторона квадрата равна (а * √3) / 2 * (1 + √3).