В прямоугольном треугольнике ABC катет AC=65, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 13√21. Найдите sin∠ABC.

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2vCbSOY

Первый способ.

В прямоугольном треугольнике АСН, по теореме Пифагора определим длину катета АН.

АН² = АС² – СН² = 4225 – 3549 = 676.

АН = 26 см.

По свойству высоты СН, проведенной к гипотенузе из вершины прямого угла, СН² = АН * ВН.

ВН = СН² / АН = 3549 / 26 = 273/2 см.

АВ = АН + ВН = 26 + 273 / 2 = 325/2 см.

Тогда SinABC = AC / AB = 65 / (325 / 2) = 2/5.

Второй способ.

Треугольники АСН и ВСН подобны по острому углу, угол СВН = АСН.

CosACH = CH / AC = 13 * √21 / 65 = √21/5.

Тогда Sin²ACH = 1 – Cos²ACH = 1 – 21 / 25 = 4/25

SinACH = SinCBH = SinABC = 2/5.

Ответ: Синус угла АВС равен 2/5.