В прямоугольной трапеции АВСD с основаниями AD=12, BC=8 и ВАD= 90° большая диагональ ВD=13. Диагонали пересекаются в

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2QVAsCI).

Докажем подобие треугольников ВМС и ДМА. У треугольников углы ВМС и ДМА равны как вертикальные при пересечении прямых АС и ВД Угол ВСМ = МАД как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых ВС и АД секущей АС. Тогда треугольника ВМС и ДМА подобны по двум углам, что и требовалось доказать.

Из прямоугольного треугольника АВД определим длину катета АВ. АВ2 = ВД2 – АД2 = 169 – 144 = 25. АВ = 5 см.

Из прямоугольного треугольника АВС определим длину гипотенузы АС. АС2 = ВС2 + АВ2 = 64 + 25 = 89. АС = √89 см.

Пусть длина отрезка ВМ = Х см, тогда ДМ = (13 – Х) см. Тогда ВС / АД = ВМ / ДМ.

8 / 12 = Х / (13 – Х).

12 * Х = 156 – 8 * Х.

20 * Х = 104.

Х = ВМ = 104 / 20 = 5,2 см.

Пусть длина отрезка СМ = Х см, тогда длина отрезка АМ = АС – Х = √89 – Х.

Тогда ВС / АД = СМ / АМ.

8 / 12 = Х / (√89 – Х).

12 * Х = 8 * √89 – 8 * Х.

20 * Х = 8 * √89.

Х = 8 * √89 / 20 = 2 * √89 / 5.

АМ = √89 – 2 * √89 / 5 = √89 * (1 – 2 / 5) = 5,66 см.

Определим периметр треугольника АВМ.

Равм = АВ + АМ + ВМ = 5 + 5,66 + 5,2 = 15,82 см.

Ответ: Периметр треугольника АВМ равен 15,82 см.