1.В Треугольнике ABC отмечено точку М так что прощать треугольников AMB,BMC и AMC равны.Докажите что М точка пересечения

Задача №1:

По условию задачи, нам известно, что в треугольнике ABC отмечено точку М так, что площади треугольников AMB, BMC и AMC равны. То есть:

S_AMB = S_BMC = S_AMC

Медиана треугольника ― отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

У треугольников АВМ и ВМС - одна общая сторона - ВМ.

У треугольников АВМ и АМС - одна общая сторона - АМ.

У треугольников АМС и ВМС - одна общая сторона -СМ.

Проведём:

ВМ к стороне АС = Н1.

АМ к стороне  ВС = Н2.

СМ к стороне АВ = Н3.

МН1 = МН2 = МН3 - это высоты, так как:

S_AMB / S_BMC.

 S = 1/2 a * h.

Из данной формулы следует, что а одинаковое у всех треугольников, то есть:

АВ = ВС = АС. 

Значит треугольник АВС равнобедренный, а М это и точка пересечения медиан, высот, биссектрис, центр треугольника АВС.

Задача №2:

Равнобедренная трапеция — это трапеция у котрой боковые стороны равны.

Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона равна средней лини трапеции:

AB = CD = m

Формула площади ранобедренной трапеции в которую можно вписать окружность:S = (a + b) · r = √ab · c = √ab · m = √ 50 * 32 * 1/2 * ( 50 + 32) = 40 * 41 = 1640.