Через точку M стороны AB треугольника ABC проведена прямая,перпендикулярная высоте BD треугольника и пересекающая сторону

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2nmF3Bo).

По условию ВД высота треугольника к стороне АС, следовательно, угол СДБ прямой, так же отрезок МК перпендикулярен высоте ВД, следовательно, угол МОД так же прямой.

Углы СДБ и МОД накрест лежащие и равны при пересечении отрезков АС и МК секущей ДВ, следовательно, АС параллельно МК.

Рассмотрим треугольники АВС и МБК, у которых угол В общий  стороны АС и МК параллельны, а углы САБ = КМВ, и АСВ = МКВ, как соответственный углы. Следовательно, треугольники АВС и МБК подобны по трем углам.

Тогда: АВ / МБ = СВ / КВ.

АВ / 7 = 27 / 9.

АВ = 27 * 7 / 9 = 21 см.

Коэффициент подобия треугольников будет равен: к = СВ / КВ = 3.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Sавс / Sмвк = к² = 9.

Ответ: АВ = 21 см, Sавс / Sмвк = 9/1.