1)В треугольнике ABC на высоте BF отмечена точка O, такая, что AO=OC. Расстояние от точки O до стороны AB равно 4 см,

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2Nc4tNC).

Рассмотрим треугольники AOF и COF. Углы F у треугольников прямые, так как OF высота треугольника, стороны АО и ОС равны по условию, а стороны OF общие.

Тогда прямоугольные треугольники AOF и COF равны по двум катетам.

Так как AF = CF, то OF высота, медиана и биссектриса, значит и BF высота, диагональ и биссектриса АВС.

Рассмотрим треугольники  ВОК и ВОМ, у которых углы ВКО и ВМО прямые, а значит треугольники прямоугольные. Гипотенуза ВО общая, а острые углы КВО и МВО равны, так как мы доказали, что ВF биссектриса. Треугольники ВОК и ВОМ равны по гипотенузе и острому углу, следовательно, ОМ = ОК = 4 см.

Ответ: ОМ = 4 см.