Решить уравнение (x-1)x(x+1)(x+2)=24

Для того, чтобы решить уравнение x(x - 1)(x + 1)(x + 2) = 24 тождественно преобразуем выражение в левой части уравнения.

Составим план решения уравнения

• перемножим попарно первое слагаемое с третьим и второе с четвертым;
• перенесем в правую левую часть уравнения слагаемые из правой;
• введем замену;
• решим полное квадратное уравнение;
• вернемся к замене и найдем значение переменной.

Преобразуем уравнение и введем замену

Перемножаем первое слагаемые с третьим и второе с четвертым используя распределительный закон умножения относительно вычитания и правило умножения скобки на скобку.

Получим:

(x^2 + x)(x^2 + 2x – x – 2) = 24;

(x^2 + x)(x^2 + x – 2) = 24;

Переносим в левую часть уравнения слагаемые из правой. При переносе слагаемых из одной части уравнения в другую не забываем менять знак слагаемого на противоположный.

(x^2 + x)(x^2 + x - 2) - 24 = 0.

Введем замену. Пусть у = x^2 + x, тогда получим уравнение:

у(у - 2) - 24 = 0;

y^2 - 2y - 24 = 0.

Решаем полное квадратное уравнение через дискриминант.

D = b^2 – 4ac = (- 2)^2 – 4 * 1 * (- 24) = 4 + 96 = 100.

y1 = (- b + √D)/2a = (2 + 10)/2 = 12/2 = 6;

y2 = (- b - √D)/2a = (2 - 10)/2 = - 8/2 = - 4.

Возвращаемся к замене

x^2 + x = 6;

x^2 + x - 6 = 0;

Решаем полное квадратное уравнение по аналогии с предыдущем:

D = b^2 – 4ac = 1 + 24 = 25;

x1 = (- b + √D)/2a = (- 1 + 5)/2 = 4/2 = 2;

x2 = (- b - √D)/2a = (- 1 - 5)/2 = - 6/2 = - 3.

Решаем второе уравнение:

x^2 + x = - 4.

x^2 + x + 4 = 0;

D = b^2 – 4ac = 1^2 – 4 * 1 * 4 = 1 – 16 = - 15;

В данном уравнение мы получили дискриминант меньше ноля. Значит уравнение не имеет решений.

Ответ: х = 2 и х = - 3 корни уравнения.

(x - 1)x(x + 1)(x + 2) = 24.(x - 1)(x + 1) * x(x + 2) = 24.(x² - 1) * (x² + 2x) = 24.x² * x² - x² + x² * 2x - 2x = 24.x⁴ - x² + 2x³ - 2x = 24.x⁴ - x² + 2x³ - 2x - 24 = 0.Разложим полученное выражение на множители.(x - 2)(x + 3)(x² + x + 4) = 0.x₁ = 2.x₂ = -3.x² + x + 4 = 0.D < 0, действительных корней данное уравнение не имеет.Ответ: -3; 2.