2sin^2x+cos2x=sin2x б) sin7x+cos4x=sinx в) Cos2xCosx=cos3x г) sin2x+sinx=0

а) 2sin²x + cos2x = sin2x.

Формула синуса двойного угла: sin2x = 2sinxcosx.

Формула косинуса двойного угла: cos2x = сos²x - sin²x.  

Перенесем все в левую часть.

2sin²x + cos²x – sin²x - 2sinxcosx = 0.

sin²x - 2sinxcosx + cos²x = 0.

Поделим уравнение на cos²x (ОДЗ: сosx не равен 0, х не равен П/2 + Пn, n – целое число).

tg²x – 2tgx + 1 = 0

Введем новую переменную, пусть tgx = а.

а² - 2а + 1 = 0.

D = 4 – 4 = 0 (один корень)

а = 2/2 = 1.

Вернемся к замене tgx = а.

tgx = 1; х = П/4 + Пn, n – целое число.

б)  sin7x + cos4x = sinx.

sin7x - sinx = -cos4x.

2sin((7x – x)/2)cos((7x + x)/2) = -cos4x.

2sin3хcos4х = -cos4x.

Поделим уравнение на cos4x.

2sin3х = -1.

sin3х = -1/2.

3х = -П/6 + 2Пn; х = -П/18 + 2/3Пn, n – целое число.

3х = -5П/6 + 2Пn; х = -5П/18 + 2/3Пn, n – целое число.

в) Cos2xсosx = cos3x.

Формула косинуса двойного угла: cos2x = сos²x - sin²x.

Формула косинуса тройного угла: cos3x = 4cos³x – 3cosx.

(сos²x - sin²x) сosx = 4cos³x – 3cosx.

Поделим уравнение на сosx.

ОДЗ: сosx не равен 0, х не равен П/2 + Пn, n – целое число.

сos²x - sin²x = 4cos²x – 3.

Представим sin²x как (1 - сos²x).

сos²x - (1 - сos²x) = 4cos²x – 3.

сos²x - 1 + сos²x - 4cos²x + 3 = 0.

-2cos²x + 2 = 0.

Вынесем на скобку (-2).

-2(cos²x – 1) = 0.

cos²x – 1 = 0.

cos²x = 1.

Отсюда cosx = -1; х = П + 2Пn, n – целое число.

И cosx = 1; х = 2Пn, n – целое число.

г) sin2x + sinx = 0.

Формула синуса двойного угла: sin2x = 2sinxcosx

2sinxcosx + sinx = 0.

Вынесем sinx на скобку.

sinx(2cosx + 1) = 0.

Отсюда sinx = 0; х = Пn, n – целое число.

Или 2cosx + 1 = 0; 2cosx = -1; cosx = -1/2; х = ±2П/3 + 2Пn, n – целое число.