5. Найти наибольшее и наименьшее значение функции у=(х+3)4 -4 на отрезке [-4;1 ]

Найдем производную функции:

у = (х + 3)⁴ - 4.

у\' = 4(х + 3)³.

Найдем нули производной:

у\' = 0; 4(х + 3)³ = 0.

х + 3 = 0; х = -3.

Определим знаки производной на каждом промежутке:

(-∞; -3) пусть х = -4; у\' = 4(х + 3)³ = 4(-4 + 3)³ = -4. Производная отрицательна, функция убывает.

(-3; +∞) пусть х = 0; у\' = 4(х + 3)³ = 4(0 + 3)³ = 108. Производная положительна, функция возрастает.

Значит, х = -3 - это точка минимума, она входит в промежуток [-4; 1]. Точкой максимума на данном промежутке будет х = 1.

х_min = -3; y_min = (-3 + 3)⁴ - 4 = -4.

x_max = 1; y_max = (1 + 3)⁴ - 4 = 256 - 4 = 252.

Ответ: наименьшее значение функции на промежутке [-4; 1] равно -4, наибольшее равно 252.