Найти наименьшее значение функции y=x^2+25/x на промежутке [1;10]

   1. Производная функции:

• y = x^2 + 25/x;
• y\' = 2x - 25/x^2 = (2x^3 - 25)/x^2.

   2. Критические точки:

• y\' = 0;
• (2x^3 - 25)/x^2 = 0;
• 2x^3 - 25 = 0;
• 2x^3 = 25;
• x^3 = 12,5;
• x = x0 = 12,5^(1/3) ≈ 2,32 ∈ [1; 10].

   3. На промежутке [1; x0] функция убывает, на промежутке [x0; 10] возрастает, следовательно, x0 - точка минимума, в которой и получим наименьшее значение функции на отрезке [1; 10]:

• y = x^2 + 25/x;
• y = (x^3 + 25)/x;
• ymin = (12,5^(1/3))^3 + 25)/12,5^(1/3) = (12,5 + 25)/12,5^(1/3) = 37,5/12,5^(1/3) ≈ 16,16.

   Ответ: 16,16.