a(b+c)^2+bc+a)^2+c(a+b)^2-4abc=(a+b)(b+c)(c+a)

Решение:

1) Рассмотрим левую часть уравнения: a(b + c)^2 + b(c + a)^2 + c(a + b)^2 - 4abc. Раскрываем скобки. Получаем: a (b^2 + 2bc + c^2) + b(c^2 + 2ac + a^2) + c(a^2 + 2ab + b^2) - 4abc = ab^2 + 2abc + ac^2 + bc^2 + 2abc + ba^2 + ac^2 + 2abc + b^2c - 4abc = ab^2 + 2abc + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ac^2 + b^2c.

2) Рассмотрим правую часть уравнения: (a + b)(b + c)(c + a). Раскрываем скобки. Получаем: (ab + ac + b62 + bc)(с + a) = abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + b^2a + bc^2 + abc.

3) ab^2 + 2abc + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ac^2 + b^2c = 2abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + b^2a + bc^2.

4) Все слагаемые взаимно уничтожаются. То есть разность левой и правой части обращаются в 0. Тождество доказано.